Question

一道关于极限的证明题设f(x)在[a,+∞]上增加且有上界,证明数列极限limf(n)存在x->+∞

Answer 1

因为f(x)在[a,+∞]上增加且有上界,

所以f(x)在[a,+∞]上有上确界,记为b.

下面我们将证明数列极限limf(n)=b

用定义证：

因为b是f(x)在[a,+∞]上确界,

所以任意x>=a,f(x)0,存在M>0,使得f(M)>b-e

因为f(x)为增函数,

所以当x>=M时,f(x)>b-e

因此对于任意的e>0,存在整数[M]+1,使得当n>[M]+1,b-e