解题思路：（1）根据矩形的性质，推出∠D=∠A=90°，再由直角三角形的性质，得出∠PCD+∠DPC=90°，又因∠CPE=90°，推出∠EPA+∠DPC=90°，∠PCD=∠EPA，从而证明△CDP∽△PAE；
（2）由△CDP∽△PAE得出∠EPA=∠PCD=30°，由角的正切值定理知AE=AP•tan∠EAP，代入相应的数据即可求得答案；
（3）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=11-x，由△CDP∽△PAE知
CD
AP
＝2
，解得x=8，此时AP=3，AE=4．
（1）△CDP∽△PAE．（1分）
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，（2分）
∴∠PCD+∠DPC=90°，（3分）
又∵∠CPE=90°，
∴∠EPA+∠DPC=90°，（4分）
∴∠PCD=∠EPA，（5分）
∴△CDP∽△PAE．（6分）
（2）在Rt△PCD中，由tan∠PCD=[PD/CD]，（7分）
∴PD=CD•tan∠PCD=6•tan30°=6×
3
3=2
3，（8分）
∴AP=AD-PD=11-2
3，（9分）
解法1：由△CDP∽△PAE知：[PD/AE=
CD
AP]，
∴AE=
PD•AP
CD=
2
3×(11-2
3)
6=
11
3
3-2，（10分）
解法2：由△CDP∽△PAE知：∠EPA=∠PCD=30°，
∴AE=AP•tan∠EAP=(11-2
3)•tan30°=
11
3
3-2；（10分）
（3）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=11-x，
∵△CDP∽△PAE，
根据△CDP的周长等于△PAE周长的2倍，得到两三角形的相似比为2，
∴
CD
AP=2即
6
11-x=2，（11分）
解得x=8，
此时AP=3，AE=4．（12分）
点评：
本题考点： 矩形的性质；相似三角形的判定与性质．
考点点评： 本题考查矩形的性质以及三角形的相似性质，综合性较强．