Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y 1 =2x 2 + 1 4 的顶点为M，直线y 2 =x，点P（n，0）为x轴上的一

Answer 1

（1）当x=n时，y ₁=2n ²+

1

4 ，y ₂=n；

∴A（n，2n ²+

1

4 ），B（n，n）．

（2）d=AB=|y _A-y _B|=|2n ²-n+

1

4 |．

∴d=|2（n-

1

4 ） ²+

1

8 |=2（n-

1

4 ） ²+

1

8 ．

∴当n=

1

4 时，d取得最小值

1

8 ．

此时，B（

1

4 ，

1

4 ），而M（0，

1

4 ）、P（

1

4 ，0）

∴四边形OMBP是正方形

∴当d取最小值时，线段OB与线段PM的位置关系和数量关系是OB⊥PM且OB=PM．（如图）

（3）∵对一切实数x恒有x≤y≤2x ²+

1

4 ，

∴对一切实数x，x≤ax ²+bx+c≤2x ²+

1

4 都成立．（a≠0）①

当x=0时，①式化为0≤c≤

1

4 ．

∴整数c的值为0．

此时，对一切实数x，x≤ax ²+bx≤2x ²+

1

4 都成立．（a≠0）

即

x≤a x 2 +bx②

a x 2 +bx≤2 x 2 +

1

4 ③ 对一切实数x均成立．

由②得ax ²+（b-1）x≥0（a≠0）对一切实数x均成立．

∴

a＞0④

△ 1 = (b-1) 2 ≤0⑤

由⑤得整数b的值为1．

此时由③式得，ax ²+x≤2x ²+

1

4 对一切实数x均成立．（a≠0）

即（2-a）x ²-x+

1

4 ≥0对一切实数x均成立．（a≠0）

当a=2时，此不等式化为-x+

1

4 ≥0，不满足对一切实数x均成立．

当a≠2时，∵（2-a）x ²-x+

1

4 ≥0对一切实数x均成立，（a≠0）

∴

2-a＞0⑥

△ 2 = (-1) 2 -4×(2-a)×

1

4 ≤0⑦

∴由④，⑥，⑦得0＜a≤1．

∴整数a的值为1．

∴整数a，b，c的值分别为a=1，b=1，c=0．