Question

设函数f（x）=-[x/1+丨x丨]（x∈R），集合N={y丨y=f（x），x∈M}，其中M=[a，b]（a＜b），则使

Answer 1

解题思路：由已知条件推导出f（x）是一个奇函数，且f（x）在R上是减函数，所以a=-

b

1+|b|

，b=-

a

1+|a|

，解得a=b=0，与已知条件a＜b矛盾，故使M=N成立的实数对（a，b）不存在．

∵f（x）=-[x/1+丨x丨]，

∴f（-x）=−

−x

1+|−x|=[x

1+|x|=-f（x），

∴f（x）是一个奇函数，

x≥0时，f（x）=-

x/1+x]=[−x−1+1/x+1]=-1+[1/x+1]，是减函数

∴f（x）在R上是减函数，

∵x∈[a，b]

∴值域是[f（b），f（a）]，

即a=f（b），b=f（a）

∴a=-

b

1+|b|，b=-

a

1+|a|，

解得a=b=0，与已知条件a＜b矛盾，

∴使M=N成立的实数对（a，b）不存在．

故选：A．

点评：

本题考点： 集合的相等．

考点点评： 本题考查集合相等的应用，解题时要认真审题，是基础题．