Question

已知函数f(x)=lg(a^x-k*b^x)(k＞0,a＞1＞b＞0）的定义域恰为(0,正无穷),是否存在这样的a,b,

Answer 1

因为 f(x) 的定义域恰为 (0,+∞),那么 k 只能等于 1；（a^x 与 b^x 的图像相交于 (0,1) 点,且都是单调函数）；所以 f(x)=lg(a^x-b^x)；

若要求 f(x) 恰在 (1,+∞) 上取正值,则在 (0,1) 上取负值且 f(1)=0,即 lg(a-b)=0,∴ a-b=1；

f(3)=lg(a³-b³)=lg4 → a³-b³=4 → (a-b)(a²+ab+b²)=4 → a²+ab+b²=4 → (b+1)²+b(b+1)+b²=4

→ b²+b-1=0；解得 b=(√5 -1)/2；从而 a=(√5 +1)/2；