由题意得
令xy=m,m1=x,m2=y
那么f(xy)=xf(y)+yf(x)两边同时除xy
有
f(xy)/xy=f(x)/x+f(y)/y
即f(m)/m=f(m1)/m1+f(m2)/m2
令F(m)=f(m)/m 则有
F(m)=F(m1)+F(m2)
其中m=m1+m2
显然F(m)为对数函数
那么设F(m)=lnm
则f(m)/m=lnm
变形f(m)=m·lnm
即f(xy)=xy·ln(xy)=xy·[lnx+lny]=y·(x·lnx)+x·(y·lny)
=y·f(x)+x·f(y)
显然成立
所以f(x)=x·lnx