函数f(x)的定义域x∈(0,+∞),若对任意的x,y>0 ,总有f(xy)=xf(y)+yf(x)成立,试写出一个满足

2个回答

  • 由题意得

    令xy=m,m1=x,m2=y

    那么f(xy)=xf(y)+yf(x)两边同时除xy

    f(xy)/xy=f(x)/x+f(y)/y

    即f(m)/m=f(m1)/m1+f(m2)/m2

    令F(m)=f(m)/m 则有

    F(m)=F(m1)+F(m2)

    其中m=m1+m2

    显然F(m)为对数函数

    那么设F(m)=lnm

    则f(m)/m=lnm

    变形f(m)=m·lnm

    即f(xy)=xy·ln(xy)=xy·[lnx+lny]=y·(x·lnx)+x·(y·lny)

    =y·f(x)+x·f(y)

    显然成立

    所以f(x)=x·lnx