解题思路：（1）当F落在OA上时，四边形OCDF和四边形DGEB都是正方形，因此CD=DF=OC=6，即D点的坐标为（6，6），而GF=DF-DG=DF-（BC-CD）=6-（10-6）=2，因此E点的坐标为（10，2）．然后可用待定系数法求出直线DE的解析式．
（2）根据D、E的坐标可知：CD=a，BE=6-b，BD=BC-CD=10-a，可根据相似三角形△OCD和△DBE得出的关于OC、CD、DB、BE的比例关系式求出b、a的函数关系式．然后可根据函数的性质得出b的最小值及对应的a的值．
（3）可将（1）中得出的直线DE的解析式联立抛物线的解析式，看得出的一元二次方程的根的判别式△的值与0的关系即可得出交点的个数．
（1）∵∠DFO=∠DCO=∠COF=90°，
OC∥DF，
∵CD∥OA，
∴四边形COFD是矩形，
∵根据△COD沿OD翻折，得到△FOD，
∴OC=OF=6，
∴四边形COFD是正方形，
同理四边形BDGE是正方形，
∴CD=OF=DF=6，OA=10，AE=6-4=2，
∴D（6，6），E（10，2），
设直线DE的解析式是y=kx+b，
代入得：
2＝10k+b
6＝6k+b，
解得：k=-1，b=12，
∴直线DE的函数关系式是y=-x+12．
（2）依题意有：CD=a，BD=10-a，BE=6-b．
∵∠ODE=90°，∠OCD=90°，
∴∠CDO+∠COD=∠CDO+∠BDE=90°
∴∠COD=∠BDE
∵∠OCD=∠B=90°
∴△OCD∽△DBE
∴[BD/OC＝
BE
CD]
∴[10−a/6＝
6−b
a]
∴b=[1/6]a2-[5/3]a+6=[1/6]（a-5）2+[11/6]
当a=5时，b最小值=[11/6]
．
（3）猜想：直线DE与抛物线y=-[1/24]x2+6只有一个公共点．
证明：由（1）可知，DE所在直线为y=-x+12．
代入抛物线，得-[1/24]x2+6=-x+12
化简得x2-24x+144=0，所以△=0．
所以直线DE与抛物线y=-[1/24]x2+6只有一个公共点．
解得：x=12，
∴y=0，
公共点为：（12，0）．
∴延长OF交DE于点H，点H即为公共点．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题着重考查了待定系数法求一次函数解析式、图形翻折变换、三角形相似、矩形的性质等重要知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．