Question

S n是a n的前n项和,且Sn+1＝4a n+2,（n≥1） a1＝1 1.b n=a n+1-a n,证明b n等比

Answer 1

1、

n=1时,a1=S1=-1²=-1

n≥2时,Sn=-n²+(n-1)²=-2n+1

n=1时,a1=-2+1=-1,同样满足

数列{an}的通项公式为an=-2n+1

a(n+1)+b(n+1)=3(an+bn)

-2(n+1)+1+b(n+1)=3(-2n+1+bn)

b(n+1)=3bn-4n+4=3bn-4(n-1)

又b(n+1)=3bn-t(n-1)

t=4

2、

a(n+1)+b(n+1)=3(an+bn)

[a(n+1)+b(n+1)]/(an+bn)=3,为定值.

a1+b1=-1+2=1

数列{an+bn}是以1为首项,3为公比的等比数列.

an+bn=3^(n-1)

an²+anbn=an(an+bn)=(1-2n)×3^(n-1)=3^(n-1)-2n×3^(n-1)

Tn=3^0+3^1+...+3^(n-1) -2[1×3^0+2×3^1+...+n×3^(n-1)]

令Cn=1×3^0+2×3^1+...+n×3^(n-1)

则3Cn=1×3^1+2×3^2+...+(n-1)×3^(n-1)+n×3ⁿ

Cn-3Cn=-2Cn=3^0+3^1+...+3^(n-1) -n×3ⁿ

Tn=2×[3^0+3^1+...+3^(n-1)]=3ⁿ-1

m,k,r成等差数列,设m=k-d,则r=k+d

T(m+1)=3^(k-d+1) -1 T(k+1)=3^(k+1) -1 T(r+1)=3^(k+d+1) -1

若存在m,k,r满足T(m+1),T(k+1),T(r+1)成等比数列,则

T(k+1)²=T(m+1)×T(r+1)

[3^(k+1)-1]²=[3^(k-d+1)-1][3^(k+d+1)-1]

整理,得

3^d +1/3^d =2

3^d=1 d=0

m=k-d=k-0=k r=k+d=k+0=k m=k=r,与已知不符.

综上,不存在满足题意的m、k、r.