解题思路：利用异面直线夹角的定义，借助于正三角形内角为60°进行判定．也可以借助BC1∥AD1，△A1BC1是正三角形，推出满足题意的直线的条数．
如图AC、CD1与AD1形成正三角形
对应的与AD1所成角为60°的面对角线为A1C1，A1B共两条．
另外下图中BC1∥AD1，△A1BC1是正三角形∴A1B、A1C1与AD1成60°角，
直线也有2条，共4条．
故答案为：4．
点评：
本题考点： 异面直线及其所成的角．
考点点评： 本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系、异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．在解题过程中利用平行线是解决问题的一个重要技巧和方法．