解题思路：（1）根据直角三角形斜边上中线性质推出即可；
（2）根据等腰三角形性质求出∠B=∠C=45°=∠BOA=∠CAO，根据SAS证△BOM≌△AON，推出OM=ON，∠AON=∠BOM，求出∠MON=90°，根据等腰直角三角形的判定推出即可．
（1）点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系是OA=OB=OC；
（2）△OMN的形状是等腰直角三角形，
证明：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC中点，
∴OA=OB=OC，AO平分∠BAC，AO⊥BC，
∴∠AOB=90°，∠B=∠C=45°，∠BAO=∠CAO=45°，
∴∠CAO=∠B，
在△BOM和△AON中
∵
AN＝BM
∠CAO＝∠B
OA＝OB，
∴△BOM≌△AON（SAS），
∴OM=ON，∠AON=∠BOM，
∵∠AOB=∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，即∠MON=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．
点评：
本题考点： 等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质．
考点点评： 本题考查了直角三角形斜边上中线，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，等腰直角三角形性质等知识点的应用，题目比较好，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．