Question

x→0时,（1-ax^2）^(1/4)-1和xsinx是等价无穷小 ,求a

Answer 1

sinx在x趋向0时,等价于x.xsinx等价于x².

那么(1-ax²)^(1/4)-1看作f(x)的函数,它在0点的展开式为：

f(0)+x*f'(0)+x²f(θ)/2!.这是taylor展开式

下面看f'(x)=(1/4)(1-ax²)^(1/4-1)(-2ax)=(-ax/2)(1-ax²)^(-3/4)

则有它的展开式为

0-ax²/2(1-ax²)^(-3/4)

它与x²等价无穷小.则有-a/2(1-ax²)^(-3/4)=1在x=0

有-a/2=1 a=-2