在△ABC中,AB=根号20,AC=4,BC=2,以AB为边向△ABC外作△ABD,使△ABD为等腰三角形,求线段CD的

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  • ∵AC=4,BC=2,AB=2倍根号5,

    ∴AC2+BC2=AB2,

    ∴△ACB为直角三角形,∠ACB=90°.

    分三种情况:

    如图(1),过点D作DE⊥CB,垂足为点E.

    ∵DE⊥CB(已知)

    ∴∠BED=∠ACB=90°(垂直的定义),

    ∴∠CAB+∠CBA=90°(直角三角形两锐角互余),

    ∵△ABD为等腰直角三角形(已知),

    ∴AB=BD,∠ABD=90°(等腰直角三角形的定义),

    ∴∠CBA+∠DBE=90°(平角的定义),

    ∴∠CAB=∠EBD(同角的余角相等),

    在△ACB与△BED中,

    ∵∠ACB=∠BED,∠CAB=∠EBD,AB=BD(已证),

    ∴△ACB≌△BED(AAS),

    ∴BE=AC=4,DE=CB=2(全等三角形对应边相等),

    ∴CE=6(等量代换)根据勾股定理得:CD=2倍根号10;

    如图(2),过点D作DE⊥CA,垂足为点E.

    ∵BC⊥CA(已知)

    ∴∠AED=∠ACB=90°(垂直的定义)

    ∴∠EAD+∠EDA=90°(直角三角形两锐角互余)

    ∵△ABD为等腰直角三角形(已知)

    ∴AB=AD,∠BAD=90°(等腰直角三角形的定义)

    ∴∠CAB+∠DAE=90°(平角的定义)

    ∴∠BAC=∠ADE(同角的余角相等)

    在△ACB与△DEA中,

    ∵∠ACB=∠DEA(已证)∠CAB=∠EDA(已证) AB=DA(已证)

    ∴△ACB≌△DEA(AAS)

    ∴DE=AC=4,AE=BC=2(全等三角形对应边相等)

    ∴CE=6(等量代换)

    根据勾股定理得:CD=2倍根号13;

    如图(3),过点D作DE⊥CB,垂足为点E,过点A作AF⊥DE,垂足为点F.

    ∵∠C=90°,

    ∴∠CAB+∠CBA=90°,

    ∵∠DAB+∠DBA=90°,

    ∴∠EBD+∠DAF=90°,

    ∵∠EBD+∠BDE=90°,∠DAF+∠ADF=90°,

    ∴∠DBE=∠ADF,

    ∵∠BED=∠AFD=90°,DB=AD,

    ∴△AFD≌△DEB,易求CD=3倍根号2.