Question

设圆满足①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧,其弧长之比为3:1,在满足条件①②的所有圆中,求圆心到直线x-2y=

Answer 1

设圆心为（a,b）,半径为 r .由（1）及勾股定理得 a^2+1=r^2 ,------------------①由（2）得圆心角之比为 270°：90° ,也就是圆心对 x 轴的张角为直角,那么由勾股定理得 r^2=2b^2 ,-----------------②由①②得 2b^2-a^2=1 ,-------------③圆心到直线 x-2y=0 的距离为 d=|a-2b|/√5 ,因此 d^2=1/5*(a-2b)^2=1/5*(4b^2-4ab+a^2)>=1/5*[4b^2-2(a^2+b^2)+a^2]=(2b^2-a^2)/5=1/5 ,也即当 a=b=1 或 a=b= -1 时,圆心到直线 x-2y=0 的距离最小,此时 r^2=2 ,所以所求圆的方程为 (x+1)^2+(y+1)^2=2 或 (x-1)^2+(y-1)^2=2 .