若存在三个均不为0的实数l,m,n,使lOA+mOB+nOC=0,且l+m+n=0.
A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)；若x1,x2,x3全是0,三点显然共线；若x1,x2,x3不全是0,不妨令x3≠0.
1、连接AB,设其直线方程是y=k1*x+b;连接(0,b)和C点,设其直线方程是y=k2*x+b.(k1≠0)
那么：三个点就是A(x1,k1x1+b),B(x2,k1x2+b),C(x3,k2x3+b)；
l+m+n=0;
lOA+mOB+nOC=0,有l*x1+m*x2+n*x3=0,可得k1(l*x1+m*x2+n*x3)=0...(1);
l*y1+m*y2+n*y3=0;
l*(k1x1+b)+m*(k1x2+b)+n*(k2x3+b)=0;
k1(l*x1+m*x2)+n*k2*x3+b*(l+m+n)=0;...(2)
比较（1）式和（2）式,可得k2=k1,三点共线.
2、连接AB,若直线方程是y=b.连接(0,b)和C,利用1的方法容易证明k2=0,共线；
3、连接AB,若直线方程是x=b.连接(b,0)和C,其直线方程设为x=ky+b,跟2类似,容易证明k=0.共线.