证明如下
设 a=p1/q
b=p2/q
c=p3/q
其中 p1,p2,p3,p均为整数；
则(1/(a-b)的平方加1/(b-c)的平方加1/(c-a)的平方)的算术平方根是有理数 等价为 (1/(p1-p2)的平方加1/(p2-p3)的平方加1/(p3-p1)的平方)的算术平方根是有理数
通分可知 等价为 {(p1-p2)(p1-p3)}^2+{(p2-p1)*(p2-p3)}^2+{(p3-p1)*(p3-p2)}^2是完全平方数；
不妨设 A=(p1-p2) B=(p2-p3) C=(p3-p1)
那么 A+B+C=0
从而 {(p1-p2)(p1-p3)}^2+{(p2-p1)*(p2-p3)}^2+{(p3-p1)*(p3-p2)}^2=(A^2+A*B+B^2)^2
证毕