Question

四边形边长为a,b,c,d,且a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,试判断四边形的形状

Answer 1

由题意

a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd

2(a^4+b^4+c^4+d^4)-2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*d^2+d^2*a^2)=

=2*4abcd-2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*d^2+d^2*a^2)

(a^2+b^2)^2+(b^2+c^2)2+(c^2+d^2)^2+(d^2+a^2)^2=-2(ab-cd)^2-2(bc-da)^2

即

(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)2+(c^2-d^2)^2+(d^2-a^2)^2+2(ab-cd)^2+2(bc-da)^2=0

则有

a^2=b^2=c^2=d^2

即a=b=c=d

由于条件不足,无法对四边形内角做出判定

则四边形为菱形