如图,在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中,点M是A 1 B的中点,点N是B 1 C的中点,连接MN

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  • (Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)

    试题分析:(Ⅰ)主要利用线线平行可证线面平行;(Ⅱ)通过作平行线转化到三角形内解角;当然也可建系利用空间向量来解;

    试题解析:(Ⅰ)证明:连接AB 1

    ∵四边形A 1ABB 1是矩形,点M是A 1B的中点,

    ∴点M是AB 1的中点;∵点N是B 1C的中点,

    ∴MN//AC,∵MN

    平面ABC,AC

    平面ABC,

    ∴MN//平面ABC 6分

    (Ⅱ)解 :(方法一)如图,作

    ,交

    于点D,

    由条件可知D是

    中点,连接BD,∵AB=1,AC=AA 1=

    ,BC=2,

    ∴AB 2+AC 2= BC 2,∴AB⊥AC,

    ∵AA 1⊥AB,AA 1∩AC=A,∴AB⊥平面

    ∴AB⊥A 1C, ∴A 1C⊥平面ABD,∴

    为二面角A—A 1C—B的平面角,在

    在等腰

    中,

    中点,

    , ∴

    中,

    中,

    ∴二面角A—

    —B的余弦值是

    12分

    (方法二)

    三棱柱

    为直三棱柱,

    , ∴

    ,∴

    如图,建立空间直角坐标系,

    则A(0,0,0), B(0,1,0), C(

    ,0,0), A 1(0,0,

    ),

    如图,可取

    为平面

    的法向量,

    设平面

    的法向量为

    ,

    则由

    ,不妨取m=1,则

    可求得