(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)
;
试题分析:(Ⅰ)主要利用线线平行可证线面平行;(Ⅱ)通过作平行线转化到三角形内解角;当然也可建系利用空间向量来解;
试题解析:(Ⅰ)证明:连接AB 1,
∵四边形A 1ABB 1是矩形,点M是A 1B的中点,
∴点M是AB 1的中点;∵点N是B 1C的中点,
∴MN//AC,∵MN
平面ABC,AC
平面ABC,
∴MN//平面ABC 6分
(Ⅱ)解 :(方法一)如图,作
,交
于点D,
由条件可知D是
中点,连接BD,∵AB=1,AC=AA 1=
,BC=2,
∴AB 2+AC 2= BC 2,∴AB⊥AC,
∵AA 1⊥AB,AA 1∩AC=A,∴AB⊥平面
∴AB⊥A 1C, ∴A 1C⊥平面ABD,∴
∴
为二面角A—A 1C—B的平面角,在
,
,
,
在等腰
中,
为
中点,
, ∴
中,
,
中,
,
∴二面角A—
—B的余弦值是
12分
(方法二)
三棱柱
为直三棱柱,
∴
,
,
,
, ∴
,∴
如图,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0), B(0,1,0), C(
,0,0), A 1(0,0,
),
如图,可取
为平面
的法向量,
设平面
的法向量为
,
则
,
,
则由
又
,不妨取m=1,则
,
可求得
,