(2012•广东)设数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1−2n+1+1,n∈N*,且a1,a2+5,a3成

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  • 解题思路:(1)在2Sn=an+1-2n+1+1中,令分别令n=1,2,可求得a2=2a1+3,a3=6a1+13,又a1,a2+5,a3成等差数列,从而可求得a1

    (2)由2Sn=an+1-2n+1+1,

    2

    S

    n+1

    a

    n+2

    2

    n+2

    +1

    得an+2=3an+1+2n+1①,an+1=3an+2n②,由①②可知{an+2n}为首项是3,3为公比的等比数列,从而可求an

    (3)(法一),由an=3n-2n=(3-2)(3n-1+3n-2×2+3n-3×22+…+2n-1)≥3n-1可得

    1

    a

    n

    1

    3

    n−1

    ,累加后利用等比数列的求和公式可证得结论;

    (法二)由an+1=3n+1-2n+1>2×3n-2n+1=2an可得,

    1

    a

    n+1

    1/2]•[1

    a

    n

    ,于是当n≥2时,

    1

    a

    3

    1/2]•[1

    a

    2

    1

    a

    4

    1/2]•[1

    a

    3

    1

    a

    5

    1/2

    1

    a

    4

    ],…,[1

    a

    n

    1/2]•[1

    a

    n−1

    ,累乘得:

    1

    a

    n

    (

    1/2

    )

    n−2

    1

    a

    2

    ],从而可证得[1

    a

    1

    +

    1

    a

    2

    +

    1

    a

    3

    +…+

    1

    a

    n

    3/2].

    (1)在2Sn=an+1-2n+1+1中,

    令n=1得:2S1=a2-22+1,

    令n=2得:2S2=a3-23+1,

    解得:a2=2a1+3,a3=6a1+13

    又2(a2+5)=a1+a3

    解得a1=1

    (2)由2Sn=an+1-2n+1+1,

    2Sn+1=an+2−2n+2+1得an+2=3an+1+2n+1

    又a1=1,a2=5也满足a2=3a1+21

    所以an+1=3an+2n对n∈N*成立

    ∴an+1+2n+1=3(an+2n),又a1=1,a1+21=3,

    ∴an+2n=3n

    ∴an=3n-2n

    (3)(法一)

    ∵an=3n-2n=(3-2)(3n-1+3n-2×2+3n-3×22+…+2n-1)≥3n-1

    ∴[1

    an≤

    1

    3n−1,

    1

    a1+

    1

    a2+

    1

    a3+…+

    1

    an≤1+

    1/3]+[1

    32+…+

    1

    3n−1=

    1×(1−(

    1/3)n)

    1−

    1

    3]<[3/2];

    (法二)∵an+1=3n+1-2n+1>2×3n-2n+1=2an

    ∴[1

    an+1<

    1/2]•[1

    an,,

    当n≥2时,

    1

    a3<

    1/2]•[1

    a2,

    点评:

    本题考点: 数列与不等式的综合;等差数列的性质;数列递推式.

    考点点评: 本题考查数列与不等式的综合,考查数列递推式,着重考查等比数列的求和,着重考查放缩法的应用,综合性强,运算量大,属于难题.

    1年前

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