解题思路:(1)在2Sn=an+1-2n+1+1中,令分别令n=1,2,可求得a2=2a1+3,a3=6a1+13,又a1,a2+5,a3成等差数列,从而可求得a1;
(2)由2Sn=an+1-2n+1+1,
2
S
n+1
=
a
n+2
−
2
n+2
+1
得an+2=3an+1+2n+1①,an+1=3an+2n②,由①②可知{an+2n}为首项是3,3为公比的等比数列,从而可求an;
(3)(法一),由an=3n-2n=(3-2)(3n-1+3n-2×2+3n-3×22+…+2n-1)≥3n-1可得
1
a
n
≤
1
3
n−1
,累加后利用等比数列的求和公式可证得结论;
(法二)由an+1=3n+1-2n+1>2×3n-2n+1=2an可得,
1
a
n+1
<
1/2]•[1
a
n
,于是当n≥2时,
1
a
3
<
1/2]•[1
a
2
,
1
a
4
<
1/2]•[1
a
3
,
1
a
5
<
1/2
•
1
a
4
],…,[1
a
n
<
1/2]•[1
a
n−1
,累乘得:
1
a
n
<
(
1/2
)
n−2
•
1
a
2
],从而可证得[1
a
1
+
1
a
2
+
1
a
3
+…+
1
a
n
<
3/2].
(1)在2Sn=an+1-2n+1+1中,
令n=1得:2S1=a2-22+1,
令n=2得:2S2=a3-23+1,
解得:a2=2a1+3,a3=6a1+13
又2(a2+5)=a1+a3
解得a1=1
(2)由2Sn=an+1-2n+1+1,
2Sn+1=an+2−2n+2+1得an+2=3an+1+2n+1,
又a1=1,a2=5也满足a2=3a1+21,
所以an+1=3an+2n对n∈N*成立
∴an+1+2n+1=3(an+2n),又a1=1,a1+21=3,
∴an+2n=3n,
∴an=3n-2n;
(3)(法一)
∵an=3n-2n=(3-2)(3n-1+3n-2×2+3n-3×22+…+2n-1)≥3n-1
∴[1
an≤
1
3n−1,
∴
1
a1+
1
a2+
1
a3+…+
1
an≤1+
1/3]+[1
32+…+
1
3n−1=
1×(1−(
1/3)n)
1−
1
3]<[3/2];
(法二)∵an+1=3n+1-2n+1>2×3n-2n+1=2an,
∴[1
an+1<
1/2]•[1
an,,
当n≥2时,
1
a3<
1/2]•[1
a2,
点评:
本题考点: 数列与不等式的综合;等差数列的性质;数列递推式.
考点点评: 本题考查数列与不等式的综合,考查数列递推式,着重考查等比数列的求和,着重考查放缩法的应用,综合性强,运算量大,属于难题.
1年前
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