解题思路：（1）先通过代入A点坐到二次函数解析式中，求出系数a的值，从而求二次函数解析式，再代入A，B求出直线AB解析式；
（2）设高Q（x，0），利用平行四边形性质对边相等列出关于x的方程，注意平行于y轴的直线中，两点之间的线段长度可以有两点的纵坐标之差来求；
（3）利用运动的观点，分别从当0＜x＜3时，x＜0时，x＞3时三类情况讨论圆与y的相切的关系即可求得Q的坐标．
（1）设抛物线的解析式为：y1=a（x-1）2+4，
把A（3，0）代入解析式求得a=-1，
∴y1=-（x-1）2+4=-x2+2x+3，
设直线AB的解析式为：y2=kx+b，
由y1=-x2+2x+3求得B点的坐标为（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y2=kx+b中，
解得：k=-1，b=3；
∴直线AB的解析式为：y2=-x+3；
（2）设存在符合条件的点Q（x，0），则P点、D点的横坐标都为x，
PD=QP-QD=y1-y2=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x，
当PD=OB=3时，四边形OBPD成为平行四边形-x2+3x=3，此方程无解，
∴不存在点Q；
当Q在x轴的负半轴Q′上时，如图：P′D′=（-x+3）-（-x2+2x+3）=x2-3x=OB=3，
解得：x=
3+
21
2＞0（舍去），x=
3−
21
2，
∴以O、B、P、D为顶点的四边形能成为平行四边形；
（3）假设存在一点Q，使以PD为直径的圆与y轴相切，
①当0＜x＜3时，设半径r，r=[1/2]PD，PD=QP-QD=y1-y2=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x，
∴r=[1/2]（-x2+3x），
∴x=[1/2]（-x2+3x），
解得：x1=1，x2=0（舍去），
∴Q1（1，0）；
①当x＜0时，设半径为r，r=[1/2]PD，PD=QD-QP=y2-y1=（-x+3）-（-x2+2x+3）=x2-3x，
∴r=[1/2]（x2-3x），
∴-x=[1/2]（x2-3x），
解得：x1=1（舍去），x2=0（舍去），
③当x＞3时，设半径为r，r=[1/2]PD，PD=QD-QP=y2-y1=（-x+3）-（-x2+2x+3）=x2-3x，
∴r=[1/2]（x2-3x），
∴x=[1/2]（x2-3x），
解得：x1=5，x2=0（舍去），
∴Q2（5，0）；
∴Q1（1，0）、Q2（5，0）时都与y轴相切．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的判定与性质以及圆的切线的判定与性质等知识．此题综合性很强，注意利用平行于y轴的直线中，两点之间的线段长度可以有两点的纵坐标之差来求是解此题的关键，还要注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．