Question

已知a>0.数列{an}满足a1=a,an+1=a+ 1/an,（n=1,2…..）,an极限存在,an＞0.

Answer 1

应该有A=liman(n趋于∞）.

(1).由已知,两边取极限,得A=a+1/A,

bn+1=an+1-A=(a+ 1/an)-(a+1/A)=1/an-1/A=1/(bn-A)-1/A=bn/-A(bn+A);

(2).由（1）得,A=[a+√(a^2+4)]/2(易得A>0）

由｜b1｜=｜a-[a+√(a^2+4)]/2｜≤1/2,解得a≥3/2

用数学归纳法看证得,当a≥3/2时,｜bn｜≤1/2^n对n=1,2……均成立,

（1）n=1时已验证

（2)假设n=k时,结论成立,即｜bk｜≤1/2^k,则

当n=k+1时,

｜bk+1｜=│bk/[-A（bn+A)]│≤│1/[A(bn+A)]│*1/2^k

而当a≥3/2时,A=[a+√(a^2+4)]/2≥【3/2+5/2】/2=2

│bk+A│≥A-│bk│≥2-1/2^k≥1

A[bn+A)]≥2

故当a≥3/2时,｜bk+1｜│≤│1/[A(bn+A)]│*1/2^k≤1/2*1/2^k=1/2^(k+1),

即当n=k+1时,结论成立

所以,结论对所有正整数都成立

故数列｜bn｜≤1/2^n对n=1,2……均成立的a的取值范围为【3/2,+∞）