Question

求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为2的圆的方程．

Answer 1

由圆心在直线3x-y=0上，设圆心为C（a，3a），

∵圆C与x轴相切，∴点C到x轴的距离等于半径，可得r=|3a|，

由此得到圆的方程为（x-a） ²+（y-3） ²=9a ²，

点C到直线x-y=0的距离为d=

|a-3a|

2 =

2 |a| ，

∵圆C被直线x-y=0截得的弦长为2，

∴根据垂径定理，得2

r 2 - d 2 =2，即2

9 a 2 -2 a 2 =2，解之得a=±

7

7 ．

由此可得圆心为C（

7

7 ，

3

7

7 ）或C（-

7

7 ，-

3

7

7 ），半径r=

3

7

7

因此，所求的圆的方程是（x-

7

7 ） ²+（y-

3

7

7 ） ²=

9

7 或（x+1） ²+（y+

3

7

7 ） ²=

9

7 ．