Question

数学直线和圆 一直直线L：2mx-y-8m-3=0和圆c:x^2+y^2-6x=12y=20=0(1)当m∈R时,证明L

Answer 1

（1）将直线L变形得：2m（x-4）+（y+3）=0,

可得出直线L恒过A（4,-3）,

将圆C化为标准方程得：（x-3）²+（y+6）²=25,

∴圆心C为（3,-6）,半径r=5,

∵点A到圆心C的距离d=√(4-3)²+(-3+6)²=√10＜5=r,

∴点A在圆内,

则L与C总相交；

（2）∵直径AC所在直线方程的斜率为（-3+6）/（4-3）=3,

∴此时l的斜率为-1/3 ,

又2mx-y-8m-3=0变形得：y=2mx-8m-3,即斜率为2m,

∴2m=-1/3 ,即m=-1/6 ,

此时圆心距d=|AC|=√10 ,又半径r=5,

则L被C截得的弦长为2√(r2-d2)=2√15

即：m=-1/6时,L被截得的弦长最短,值为2√15.