第一个问题：
∵∠BAC＝90°,∠C＝60°,∴∠B＝30°.
∵PD∥BA,∴∠BAP＝∠APD＜90°.
∵△ABC∽△DAP,∴∠PAD、∠ADP中有一者＝∠B＝30°.
由三角形外角定理,∠ADP＝∠C＋∠CPD＞∠C＝60°,∴∠PAD＝30°,结合∠APD＜90°,
得：∠APD＝60°.
第二个问题：
∵∠BAC＝90°,∠B＝30°,∴AC＝BC/2＝24/2＝12.
∵PD∥BA,∴△DPC的面积/△ABC的面积＝（PC/BC）^2＝（PC/24）^2,
∴△DPC的面积＝（PC/BC）^2×△ABC的面积,
∴△APD的面积＝△PAC的面积－△DPC的面积＝△PAC的面积－（PC/24）^2×△ABC的面积
显然,△ABC、△PAC是等高不等底的三角形,
∴△PAC的面积/△ABC的面积＝PC/BC＝PC/24,∴△PAC的面积＝（PC/24）△ABC的面积,
∴△APD的面积＝（PC/24）△ABC的面积－（PC/24）^2×△ABC的面积
＝［24PC－PC^2）×△ABC的面积/（24）^2.
∵△ABC的面积为定值,∴要使△APD的面积最大,就需要（24PC－PC^2）取得最大值.
而24PC－PC^2＝12^2－（PC^2－2×12PC＋12^2）＝12^2－（PC－12）^2,
∴当PC＝12时,24PC－PC^2的值最大,此时,24PC－PC^2＝12^2,
∴△APD的最大面积＝12^2×△ABC的面积/（24）^2＝△ABC面积/4.
即：当PC＝12时,△APD的面积最大,最大面积为△ABC面积/4.
第三个问题：
令BP的中点为E,AC的中点为F.
很明显,EF是两外切圆的连心线,∴EF＝AC/2＋BP/2＝6＋BP/2.
又EC＝BC－BE＝24－BP/2.
由余弦定理,有：EF^2＝CF^2＋EC^2－2CF×ECcos∠C,
∴（6＋BP/2）^2＝（AC/2）^2＋（24－BP/2）^2－2（AC/2）（24－BP/2）cos60°,
令x＝BP/2,得：（6＋x）^2＝36＋（24－x）^2－2×6（24－x）/2,
∴36＋12x＋x^2＝36＋24^2－48x＋x^2－6×24＋6x,
∴54x＝24^2－6×24,∴x＝24×（24－6）/54＝24×（12－3）/27＝8×（4－1）/3＝8,
∴BP/2＝8,∴BP＝16.