Question

已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．

Answer 1

解题思路：（1）延长C₁F交CB的延长线于点N，由三角形的中位线的性质可得MF∥AN，从而证明MF∥平面ABCD．

（2）由A₁A⊥BD，AC⊥BD，可得BD⊥平面ACC₁A₁，由DANB为平行四边形，故NA∥BD，故NA⊥平面ACC₁A₁，从而证得平面AFC₁⊥ACC₁A₁．

（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）延长C₁F交CB的延长线于点N，连接AN．因为F是BB₁的中点，

所以，F为C₁N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC₁的中点，

故MF∥AN．又MF不在平面ABCD内，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．

（Ⅱ）连BD，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ ，

可知A₁A⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A₁A⊥BD．

∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A₁A=A，

AC，A₁A⊂平面ACC₁A₁，∴BD⊥平面ACC₁A₁．

在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形，

故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁，又因为NA⊂平面AFC₁，

∴平面AFC₁⊥ACC₁A₁．

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，同时考查了空间想象能力，推理论证的能力，属于中档题．