在▱ABCD中，AB=CD，∠BAE=∠DCF，BC=DA；
∵E、F分别是边AD、BC的中点，
∴AE=CF，
在△ABE和△CDF中，
AE=CF
∠BAE=∠DCF
AB=CD ，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故①正确；
∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEG=∠CFH，
在△AGE和△CHF中，
∠AEG=∠CFH
AE=CF
∠EAG=∠FCH ，
∴△AGE≌△CHF（ASA），
∴AG=HC，故②正确；
若EG=CH，则EG=AG，∠GAE=∠GEA，而这根据题意是无法判断的，故③错误；
∵△ABE与△BFD底相等，高相等，
∴S △ABE=S △BDF，故④正确．
综上可得共有3个结论正确．
故答案为：3．