Question

已知{an}是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，若a3是a1、a9的等比中项，且S5=15．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）根据a₃是a₁、a₉的等比中项，S₅=15，组成方程组，求出首项与公差，即可求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）n=1时，T_n=1；n≥2时，T_n=

1

1

2

+

1

2

2

+…+

1

n

2

利用放缩法可得结论．

（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d（d≠0），则

∵a₃是a₁、a₉的等比中项，S₅=15，

∴

(a1+2d)2＝a1(a1+8d)

5a1+10d＝15，∴a₁=d=1

∴a_n=n；

（Ⅱ）证明：n=1时，T_n=1＜2；

n≥2时，T_n=[1

12+

1

22+…+

1

n2＜1+

1/1×2]+…+[1

(n−1)n=1+1-

1/2]+…+[1/n−1]-[1/n]=2-[1/n]＜2

综上，T_n＜2．

点评：

本题考点： 反证法与放缩法；等比数列的性质；数列与不等式的综合．

考点点评： 本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，正确放缩，利用裂项法求和是关键．