Question

利用简单方法求极限.(1)x趋近于0,lim[(1/sin平方x)-1/x平方] (2)x趋近于0+,(cos根号X)的

Answer 1

1.lim(x->0) [(1/sin^2 x)-1/x^2] =lim(x->0) (x^2-sin^2 x)/(x^2 *sin^2 x)

一次罗比达=lim(x->0)(2x-sin2x)/4x^3 再次罗比达=lim(x->0)(2-2cos2x)/12x^2

最后一次罗比达=lim(x->0) 4sin2x/24x= 1/3

2.1^oo型,lim(x->0+) [cos根号x ]^(π/x)=lim(x->0+) [1+cos根号x -1 ]^(π/x)=lim(x->0+) [1+cos根号x -1 ]^1/[cos根号x -1]*(π/x)[cos根号x -1]=lim(x->0+) e^[π*(cos根号x -1)/x]=lim(x->0+) e^π*(-1/2 x)/x=e^(-π/2)

(注：1-cosx在x趋于0时等价于x^2/2)