已知函数f(x)=a−22x+1(x∈R)是奇函数,

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  • 解题思路:(Ⅰ)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,由此可求得a值;

    (Ⅱ)由y=1-

    2

    2

    x

    +1

    得2x=

    y+1/1−y],由2x>0,得[y+1/1−y]>0,解出即得值域;

    (Ⅲ)根据函数单调性的定义可作出判断.

    (Ⅰ)因为f(x)在R上是奇函数,

    所以f(0)=0,即a-[2

    20+1=0,解得a=1.

    (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=1-

    2

    2x+1,

    由y=1-

    2

    2x+1得2x=

    y+1/1−y],

    因为x∈R,所以2x>0,所以[y+1/1−y]>0,解得-1<y<1,

    所以f(x)的值域为(-1,1).

    (Ⅲ)f(x)在R上是增函数,

    任取x1<x2,f(x1)-f(x2)=1-[2

    2x1+1-1+

    2

    2x2+1

    =

    2(2x1−2x2)

    (2x1+1)(2x2+1).

    因为x1<x2,所以2x1<2x2,2x1-2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0,

    所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).

    所以f(x)在R上是增函数.

    点评:

    本题考点: 奇偶性与单调性的综合.

    考点点评: 本题考查奇偶性的应用、单调性的判断及函数值域的求解,考查学生解决问题的能力.

    1年前

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