Question

设f(x)在（-∞,+∞)上可导,试证明：（1）奇函数的导函数为偶函数 （2）偶函数的导函数为奇函数

Answer 1

（1）因为f(x)在（-∞,+∞)上可导,且为奇函数

即f(x)=-f(-x),则f(x)'=-f(-x)'=-f(-x)×（-1）=f(-x)

即可证奇函数的导函数为偶函数

（2）因为f(x)在（-∞,+∞)上可导,且为偶函数

即f(x)=f(-x),则f(x)'=f(-x)'=f(-x)×（-1）=-f(-x)

即可证偶函数的导函数为奇函数