Question

在△ABC中,三边长为连续的自然数,且最大角是最小角的2倍,求此三角形的三边长.

Answer 1

三边x-1,x,x+1

两个角是a和2a

则2a对x+1,a对x-1

sin2a=2sinacosa

由正弦定理

(x-1)/sina=(x+1)/sin2a=(x+1)/2sinacosa

所以x-1=(x+1)/2cosa

cosa=(x+1)/2(x-1)

由余弦定理

cosa=[(x+1)^2+x^2-(x-1)^2]/2x(x+1)

[(x+1)^2+x^2-(x-1)^2]/2x(x+1)=(x+1)/2(x-1)

2(x-1)(x^2+4x)=2x(x+1)^2

2x(x-1)(x+4)=2x(x+1)^2

x^2+3x-4=x^2+2x+1

x=5

所以三边是4,5,6