Question

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx，（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=

Answer 1

（1）∵f（-x+5）=f（x-3），∴f（x）的对称轴为x=1，

即-

b

2a =1即b=-2a．

∵f（x）=x有两相等实根，∴ax ²+bx=x，

即ax ²+（b-1）x=0有两相等实根0，

∴-

b-1

a =0，

∴b=1，a=-

1

2 ，

∴f（x）=-

1

2 x ²+x．

（2）f（x）=-

1

2 x ²+x=-

1

2 （x-1） ²+

1

2 ≤

1

2 ，

故3n≤

1

2 ，故m＜n≤

1

6 ，

又函数的对称轴为x=1，故f（x）在[m，n]单调递增则有f（m）=3m，f（n）=3n，

解得m=0或m=-4，n=0或n=-4，又m＜n，故m=-4，n=0．