Question

求通过点(-1,1)的曲线,且曲线上任一点处的切线截Ox轴所得的线段的长等于切点的横坐标的平方

Answer 1

设该曲线的切点为(x,y),那么根据中点坐标公式,很容易求得切线与x轴,y轴的交点分别是(2x,0),

(0,2y),所以切线斜率为k=-y/x,由于曲线切线斜率k=dy/dx,所以可以得到微分方程为

dy/dx=-y/x,用微分法求解这个方程：

整理得xdy+ydx=0,即d(xy)=0,积分,得xy=C（C为任意常数）,由于曲线过(1,-1),把此点代入,可求出C=-1,所以这个曲线的方程为xy=-1,即y=-1/x