⑴由题意得,
e=c/a=2√2⇔c²/a²=(a²−b²)/a²=1/2,
(√6)²/a²+1²/b²=1,
联立解得a²=8,b²=4,c=2
∴该椭圆的标准方程为：x²/8+y²/4=1；
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⑵∵λ=(|AB|+|CD|)/|AB|•|CD|=1/|AB|+1/|CD|,
∴问题等价于求1/|AB|+1/|CD|是否是定值,
椭圆的焦点坐标是(±2,0),不妨取焦点(2,0),
①当直线AB的斜率不存在或等于零时,
|AB|=2a=4√2,代入x=±a得|CD|=√(a²/c)=2,
λ=1/|AB|+1/|CD|=3√2/8,
②当直线AB的斜率存在且不等于零时,
设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程是y=k(x-2),
代入椭圆方程,整理得(1+2k²)x²-8k²x+8k²-8=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-8k²/(1+2k²),x1x2=(8k²−8)(1+2k²),
根据弦长公式,|AB|=√(1+k²)×√[(x1+x2)²−4x1x2]=4√2(1+k²)/(1+2k²),
以-1/k代换k,得|CD|=4√2(1+k²)/(k²+2)
∴λ=1/|AB|+1/|CD|=3(k²+1)/4√2(k²+1)=3√2/8,
综上所述,故存在实数λ=3√2/8,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|．
【考点】椭圆的标准方程,椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系以及韦达定理的运用.
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