解题思路:(1)要证B1C1∥平面EFG,只要在平面EFG内找出一直线与B1C1平行,由E,F为△AB,AC中点,可得GE∥BC.而B1C1∥BC,可得B1C1∥GE,从而可证
(2))由(1)知可得C1与B1到平面EFG的距离相等,则
V
B
1
−EFG=
V
C
1
−EFG=
V
G
−
C
1
EF
,容易证明B1C1⊥平面C1CA1,而B1C∥GE,可得GE⊥平面C1EF,即GE为G到平面EFC1的距离,代入锥体的体积公式可求
(1)E,F为△AB,AC中点,∴GE∥BC.
∵B1C1∥BC,∴B1C1∥GE,
∵GE⊂平面GEF,B1C1∉平面GEF,
∴B1C1∥平面EFG
(2)∵B1C1∥平面EFG,∴C1与B1到平面EFG的距离相等.
∴VB1−EFG=VC1−EFG=VG−C1EF
∵B1C1⊥A1C1,B1C1⊥C1C1,A1C1∩C1C=C1
∴B1C1⊥平面C1CA1
∵B1C∥GE∴GE⊥平面C1EF
∵GE=
1
2BC=1,SC1EF=2×2−
1
2(1×2+1×1+1×2)=
3
2
∴VB1−EFG=
1
3×
3
2=
1
2
点评:
本题考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.
考点点评: 本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用及锥体的体积的计算,而本题(2)中所采用的换顶点求解三棱锥的体积及求解距离是非常重要的方法,要注意掌握.