Question

已知数列{an}与{bn}有如下关系：a1=2，an+1=[1/2]（an+[1an），bn=an+1an−1．

Answer 1

解题思路：（1）（2）构造数列整体解决．

（3）列出来运用累加的方法求解．

答案 （Ⅰ）∵b₁=

a1+1

a1−1=3，∴b_n+1=

an+1+1

an+1−1=

1

2(an+

1

an)+1

1

2(an+

1

an)−1=

1

2bn+1

1

2bn−1

∴b_n=

b2n−1=

b22n−2=…=b₁2n−1=3 2n−1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=

bn+1

bn−1=，∴

an−1

an+1−1=

32n−1+1

32n−1−1−1

32n+1

32n−1−1=3 2n−1+1．

∴c_n=3 2n−1+1．

（Ⅲ）∵n≥2时，a_n+1-1=

a

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；数列的求和．

考点点评： 本题综合考察了数列与函数、不等式，方程的关系，运用化简仔细些．