Question

如图所示,在三角形ABC中,∠BAC=α,以AB,AC为边向形外做等边三角形ABD,M,N,P为AD,AE,BC的中点,

Answer 1

设AB中点为X,AC中点为Y,连接PY,YN,PX,XM和MN,

则PY=AB/2=BD/2=MX,QN=CE/2=AC/2=PX

而∠MXP=∠AXM+∠AXP,∠PYN=∠PYA+∠AYN

易知PXAY是平行四边形,所以∠AXP=∠PYA,而∠AXM=60°=∠AYN

所以∠MXP=∠PYN,这样边角边可知△XPM≌△YNP,则PM=PN

又AM=AX=XM,AN=AY=PX,∠MAN=360°-60°-60°-∠A=240°-∠A=(180°-∠A)+60°

而180°-∠A=∠AXP,所以∠MAN=∠MXP,所以△MAN≌△MXP

所以MP=MN,这样△PMN就是等边△,所以∠MPN=60°