Question

设函数f(x)在R上满足f（2-x）=f（2+x）,f（7-x）=f（7+x）,且在[0,7]上,只有f（1）=f（3）

Answer 1

易知,对任意实数x∈R,恒有f(4-x)=f(x)且f(14-x)=f(x).∴f(4-x)=f(14-x).即f(4-x)=f[10+(4-x)].∴f(x+10)=f(x).即函数f(x)在R上是以10为周期的周期函数.【1】由f(10+x)=f(x),及f(3)=0可知,f(-3)=f(7).①若f(-3)=f(3)=0.则f(7)=0.这与题设“在[1,7]上仅有f(1)=f(3)=0”矛盾.∴f(-3)≠f(3).②若f(-3)+f(3)=0.同样有f(7)=0.矛盾.∴f(3)+f(-3)≠0.综上可知,在R上,函数f(x)非奇非偶.【2】①由f(10+x)=f(x)及题设“在[0,7]上,仅有f(1)=f(3)=0“可知,f[1+10k]=f[3+10m]=0.(k,m∈Z).由此可得-2008≤1+10k≤2008,且-2008≤3+10m≤2008.===>-200.9≤k≤200.7且-201.1≤m≤200.5===>k=-200,-199,-198,.199,200.计401个.m=-201,-200,-199,.198,199,200.计402个.∴满足题设的解共有803个.