Question

线性代数问题1.如果A是n阶正交阵则,下列不成立的是A.A^-1=A^T B.A的行向量都是单位向量且两两正交C.A的行

Answer 1

1,A是正交矩阵,则A'A=E

所以A^-1=A'

A是正确的

将A'A=E按矩阵乘法写出来就是

∑a(ki)a(kj)= 1(i=j)或0(i≠j)（前面式子是对k求和）

所以行向量都是单位向量且两两正交

由A'A=E可以得到AA'=E

展开就得到列向量也都是单位向量且两两正交

所以估计错误的选项应该是D了

2,应该是r(A)=n吧?

若r(A)=n,则|A|≠0

由A^2=A可得|A|^2=|A|

所以|A|=1

所以|2E-A|=|2E-A||A|=|2A-A^2|=|2A=A|=|A|=1

3,设k0a0+k1a1+……+krar=0

两边同时作用A

由Aa0=b,Aai=0,i=1,……,r

可得k0=0

由a1,……,ar线性无关又可以得到k1,……,kr=0

所以它们线性无关