Question

在平面直角坐标系xOy中，已知AB是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，记OM

Answer 1

解题思路：（1）类比椭圆的性质，直接叙述．

（2）设A（x₁，y₁），A（x₁，y₁），M（x₀，y₀）利用点差法能证明k_OM•k_AB=

b

2

a

2

．

（1）在平面直角坐标系xOy中，已知AB是双曲线

x2

a2-

y2

b2=1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，记OM，AB的斜率分别为k_OM，k_AB，则k_OM•k_AB=

b2

a2．…（4分）

（2）证明：设A（x₁，y₁），A（x₁，y₁），M（x₀，y₀）

由

x12

a2−

y12

b2＝1

x22

a2−

y22

b2＝1，得：

x12−x22

a2−

y12−y22

b2＝0，（6分）

∴

(x1+x2)(x1−x2)

a2−

(y1+y2)(y1−y2)

b2=0，

∵M（x₀，y₀）为AB的中点

∴x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，（9分）

∴

2x0(x1−x2)

a2−

2y0(y1−y2)

b2=0，

∴k_AB=

y1−y2

x1−x2=

b2 x0

a2y0，（11分）

∵k_OM=

y0

x0，（13分）

∴k_OM•k_AB=

b2

a2．（16分）

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查双曲线性质的类比叙述，考查两直线的斜率乘积为定值的证明，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．