Question

已知函数f（x）=sin²x+acosx+5/8a-3/2,a∈R当a=1时求函数f（x）的最大值

Answer 1

（1）当a=1时f(x)=sin²x+cosx-7/8 对f(x)求导,得：f′(x)=2sinxcosx-sinx=sinx(2cosx-1) 令f′(x)=0,得：sinx=0或cosx=1/2 分析其一个周期x∈[0,2π] 当x∈（0,π/3）时,f′(x)＞0,f(x)单调递增 当x∈（π/3,π）时f′(x)＜0,f(x)单调递减 当x∈（π,5π/3）时,f′(x)＞0,f(x)单调递增 当x∈（5π/3,2π）时,f′(x)＜0,f(x)单调递减 比较两个极大值f(π/3)和f(5π/3)得：f(5π/3)=f(π/3)=3/8 所以当a=1时,f(x)的最大值为3/8 （2） 令t=cosx,则1-t²=sin²x,对于x∈[0,π/2],有t∈[0,1] 于是f(x)=1-t²+at+(5/8)a-3/2=-t²+at+(5/8)a-1/2 令g(t)=-t²+at+(5/8)a-1/2,当g(t)取得最大值时,对应的f(x)也能取得相等的最大值 对g(t)求导,得：g′(t)=a-2t 当a≤0时,对于t∈[0,1]有g′(t)≤0,g(t)在t∈[0,1]上单调递减 于是当t=0时g(t)取得最大值g(0)=(5/8)a-3/2＜0,符合题设 当a＞2时,g′(t)在t∈[0,1]上为正,g(t)在t∈[0,1]上单调递增,于是当t=1时g(t)取得最大值g(1)=(13/8)a-3/2 令(13/8)a-3/2≤1,得：a≤20/13＜2,不符合 当0＜a≤2时,g′(t)在t∈[0,a/2)时为正,在t∈(a/2,1]时为负 于是当t∈[0,a/2)时,g(t)单调递增；当t∈(a/2,1]时,g(t)单调递减 当t=a/2时g(t)取得最大值g(a/2)=a²/4+(5/8)a-1/2 令g(a/2)≤1,得a²/4+(5/8)a-3/2≤0,即2a²+5a-12≤0,(2a-3)(a+4)≤0 解出-4≤a≤3/2,于是0＜a≤3/2 ∴所求a的范围是a≤3/2