解题思路：（1）根据已知条件得∠DBC=30°，从而得出∠C=60°，则梯形ABCD是等腰梯形；
（2）由直角三角形的性质，可得出BC，过点D作DE∥AB，可得四边形ABED为平行四边形，△DCE为等边三角形，从而得出CE，即得出BE，从而算出等腰梯形ABCD的周长．
（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ABC=60°，
∴∠CBD=30°，
∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°，
∴∠C=60°，
∴梯形ABCD是等腰梯形；
（2）过点D作DE∥AB，
∵AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形，
∵CD=1，∴BC=2，
∵∠C=60°，∴△DCE为等边三角形，
∴CE=BE=1，AD=1，
∴等腰梯形ABCD的周长=AD+AB+CD+BC=1+1+1+2=5．
点评：
本题考点： 等腰梯形的判定；等腰梯形的性质．
考点点评： 本题考查了等腰梯形的判定和性质，平移一腰是常作的辅助线，要熟练掌握．