Question

（2012•梁子湖区模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠C

Answer 1

解题思路：（1）利用已知得出∠PCB+∠OCB=90°，进而求出∠PCO=90°，利用切线的判定定理求出即可；

（2）首先证明△MBN∽△MCB，再利用相似的性质求出△MBN∽△MCB，进而得出MN•MC=BM²的值．

（1）∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO，

∴∠COB=2∠A，

又∵∠COB=2∠PCB，

∴∠A=∠ACO=∠PCB．

又∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，

∴∠PCB+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，

而OC是⊙O的半径，

∴PC是⊙O的切线．

（2）连接MA，MB，

∵点M是

AB的中点，

∴

AM＝

BM，

∴∠BCM=∠ABM，而∠BMN=∠BMC，

∴△MBN∽△MCB，

∴[BM/MC＝

MN

BM]，

又∵AB是⊙O的直径，

AM＝

BM，

∴∠AMB=90°，AM=BM．

∵AB=8，

∴BM=4

2．

∴MN•MC=BM²=32．

点评：

本题考点： 切线的判定；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 此题主要考查了切线的判定与相似三角形的判定与性质，此题是中考中重点题型同学们应重点掌握．