Question

（2013•广元一模）已知数列{an}中，a1=1，Sn其前n项和，且an+1=2Sn+n2-n+1，

Answer 1

解题思路：①利用数列递推式，再写一式，两式相减，证明{b_n+1}是以3为公比，3为首项的等比数列，再利用等比数列的求和公式，即可得到结论；

②利用叠加法，可求数列{a_n}的通项公式．

①∵a_n+1=2S_n+n²-n+1，

∴n≥2时，a_n=2S_n-1+（n-1）²-（n-1）+1，

两式相减可得a_n+1-a_n=2a_n+2n-2，

∵a₁=1，∴a₂=3，也满足上式，怎么

∴a_n+1-3a_n=2n-2

∴n≥2时，a_n-3a_n-1=2（n-1）-2

∵b_n=a_n+1-a_n，∴两式相减可得，n≥2时，b_n-3b_n-1=2

∴b_n+1=3（b_n-1+1）

∵b₁+1=3≠0，∴{b_n+1}是以3为公比，3为首项的等比数列

∴b_n+1=3ⁿ，

∴b_n=3ⁿ-1，

∴T_n=

3(1−3n)

1−3−n=[1/2•3n+1−n−

3

2]；

②由①知，a_n+1-a_n=3ⁿ-1

∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=3⁰+3¹+…+3^n-1-（n-1）=

1

2(3n+1)−n

点评：

本题考点： 数列递推式；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的通项与求和，考查叠加法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．