解题思路:(I)由函数F(x)=f(x)-3x2是一个奇函数,得到F(-x)=-F(x)构建关于b的方程求解.
(II)由函数f(x)在x=1处取极大值,可得陇望蜀f′(-1)=0和f(-1)=-6-6+c=0,从而得到了f(x)=-2x3+3x2+12x,再导数求得最值.
(I)∵函数F(x)=f(x)-3x2是一个奇函数,
∴F(-x)=-F(x),化简计算得∴b=3;(4分)
(II)∵函数f(x)在x=1处取极大值,
∴f′(-1)=0(5分)f(x)=-2x3+3x2+cx,f′(x)=-6x2+6x+c(6分)
∴f(-1)=-6-6+c=0,c=12(8分)
∴f(x)=-2x3+3x2+12x,f′(x)=-6x2+6x+12=-6(x2-x-2)
令f′(x)=0,得x1=-1,x2=2,(9分)
列表
(11分)
∴当x=-3时,f(x)max=45.(13分)
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;奇函数;函数在某点取得极值的条件.
考点点评: 本题主要考查函数的奇偶性和导数法来求函数的最值.