Question

已知函数f（x）=loga（ax-1）（a＞0，且a≠1）．

Answer 1

解题思路：（I）根据对数函数的真数大于零建立关系式，讨论a与1的大小，根据指数函数的单调性解不等式，即可求出函数的定义域；

（Ⅱ）讨论a与1的大小，根据对数函数的单调性列出不等式，再由指数函数的单调性和

a

log

N

a

＝N

，求出满足不等式log_a（a^x-1）＞1的实数x的取值范围．

（I）由题意得，a^x-1＞0，即a^x＞1=a⁰，

当0＜a＜1时，则x＜0即定义域为（-∞，0），

当a＞1时，则x＞0，则定义域为（0，+∞）；

（Ⅱ）由题意得，log_a（a^x-1）＞1=log_aa，

当0＜a＜1时，0＜a^x-1＜a，则1＜a^x＜a+1，

即a⁰＜a^x＜a

loga+1a，解得

loga+1a＜x＜0，

当a＞1时，a^x-1＞a，即a^x＞a+1=a

loga+1a，

解得x＞

loga+1a，

综上得，当0＜a＜1时，

loga+1a＜x＜0，

当a＞1时，x＞

loga+1a．

点评：

本题考点： 函数奇偶性的性质；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题主要考查了对数函数的定义域、单调性，对数、指数不等式的解法，以及alogNa＝N的灵活应用，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．