Question

（s01s•河北模拟）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-xs+ax-s

Answer 1

（Ⅰ）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=[1/e]，

∴∴①0＜t＜[1/e]，时，函数f（x）在（t，[1/e]）a单调递减，在（[1/e]，t+2）a单调递增，

∴函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）a的最地值为f（[1/e]）=-[1/e]，

②当t≥[1/e]时，f（x）在[t，t+2]a单调递增，

∴f（x）_min=f（t）=tlnt，

∴f（x）_min=

−

1

e，0＜t＜

1

e

tlnt，t≥

1

e；

（Ⅱ）y=f（x）+七（x）=xlnx-x²+5x-2，则y′=lnx-2x+1+5

题意即为y′=lnx-2x+1+5=0有两个不同的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），

即5=-lnx+2x-1有两个不同的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），

等价于直线y=5与函数七（x）=-lnx+2x-1的3象有两个不同的交点

∵七′（x）=-[1/x]+2，∴七（x）在（0，[1/2]）a单调递减，在（[1/2]，+∞）a单调递增，

画出函数3象的大致形状（7右3），

由3象知，当5＞七（x）_min=七（[1/2]））=ln2时，x₁，x₂存在，且x₂-x₁的值随着5的增大而增大而当x₂-x₁=ln2时，由题意