Question

已知正方形ABCD的边长为1，沿对角线AC把△ACD折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面

Answer 1

如图所示，O为正方形ABCD的中心，

∵BO⊥AC，DO⊥AC，

∴AC⊥面BOD，

∵AC?面ABC，∴面BOD⊥面ABC

∴BD在面ABC的射影是BO，∠BDO=φ是直线BD与面ABC所成角．

设∠BOD=θ（0°＜θ＜180°），正方形ABCD的边长为1，则BO=DO=

2

2

∴△BOD的面积=

1

2 BO×DO×sinθ=

1

4 sinθ．

∴三棱锥体积=

1

3 S _△BOD×AC=

2

12 sinθ≤

2

12 ，

∴θ=90°时，三棱锥体积最大，此时△BOD是等腰Rt△，

∴φ=45°，即当A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时候，直线BD与面ABC所成角为45°．

故答案为

π

4 ．