Question

设函数f（x）=x^2e^（x-1）-1/3x^3-x^2 X∈R 1求函数y=f（x）的单调区间 2求f（x）在【-1

Answer 1

(1)f'(x)=(x^2+2x)·[e^(x-1)-1]

导数大于0时

解得x>1,x∈（-2,0）

导数小于0时

解xx 因为对于函数f(x)= e^(x-1)-x,f'(x)=e^(x-1)-1, 当x>1时,f'(x)>0,所以当x>1时f(x)= e^(x-1)-x为增函数,f(1)=0 所以 当x>1时f(x)>0 e^(x-1)>x

2 设n=k时, e^(x-1)>x ^k/k!

因为x^k/k!-x^（k+1）/（k+1）!=x^k/k!-x^k/k![x/(k+1)]=x^k/k![1-x/(k+1)]=x^k/k![(k+1-x)/k+1)]

因为x可看作常数,当k足够大时必有k>x所以(k+1-x)/(k+1)>0,所以x^k/k!-x^（k+1）/（k+1）!>0,所以x^k/k!>x^（k+1）/（k+1）!所以 e^(x-1)>x^（k+1）/（k+1）!

所以当n=k+1时原式成立,所以 e^(x-1)>x ^n/n! n>=1,n是整数 x>1