Question

1、已知n阶矩阵A满足:R(A+E)+R(A-E)=n,证A(A+2E)(A+4E)-3(A+2E)(A+4E)可逆 2

Answer 1

设A的若当标准型为B吧,可得r(A+E)=r(B+E),同理r(A-E)=r(B-E)

若r(B+E)=x,则说明A有n-x个为-1的特征值

若r(B-E)=y,则说明A有n-y个为1的特征值,又有x+y=n可得A的特征值只有1和-1.

因此当m不等于1或-1时,A-mE都是可逆矩阵(由特征值的定义可知)

A(A+2E)(A+4E)-3(A+2E)(A+4E)=(A-3E)(A+2E)(A+4E)

其中(A-3E)、(A+2E)、(A+4E)都是可逆矩阵,所以它们的积也是可逆矩阵.