解题思路：（Ⅰ）利用条件当x=-1时，f（x）取得极大值3，即f（-1）=3，f'（-1）=0，以及f（0）=1，三个条件建立方程组，可求f（x）的解析式．
（Ⅱ）要使函数在区间（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，则等价为f'（x）=0在区间（t，t+3）上有两个不同的根，进而实现转化．
（1）由f（0）=1得c=1．
又当x=-1时，f（x）取得极大值3，所以f（-1）=3，f'（-1）=0．
f′(x)＝3ax2+b，
f′(−1)＝3a+b＝0
f(−1)＝−a−b+1＝3，
得a=1，b=-3
∴f（x）=x3-3x+1．
（2）由f′（x）=3（x-1）（x+1）=0，得x=-1，
在x=1时取得极值．由-1∈（t，t+3），1∈（t，t+3）得-2＜t＜-1．
∴M=（-2，-1）．（8分）g(x)＝
f(x)
x＝x2+
1
x−3，g′(x)＝2x−
1
x2，
∴当x∈M时，g′（x）＜0，
∴g（x）在M上递减．
又g(−2)＝
1
2，g(−1)＝−3
∴函数g(x)＝
f(x)
x，x∈M的零点有且仅有1个．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数解析式的求解及常用方法；根的存在性及根的个数判断．
考点点评： 本题考查导数与极值之间的关系．利用条件先求出函数的表达式．然后将函数进行等价转化．